股市預測 (七) 隨機漫步理論的數學基礎之温納過程(Wiener processes)

溫納過程︰在小的時間區段Δt內的變動Δz為：

(1)

其中ε為來自標準化的常態分配N(0,1)的隨機抽取值。任意兩個不同短區段時間Δt的Δz值是獨立的。其遵循第一個特性，Δz本身有一種常態分配

思考在一段相對長的時間T內 z 值的增加。可以z(T) - z (0)來表示。它可以被看作成在N個長度為Δt的小時間區段內，z值增加的加總，其為：

(2)

因此

(3)

其中ε為從N(0，1)的隨機抽取值。

基本溫納過程，dz，發展迄今有零的成長率及1.0的變異率。零成長率意謂著在任何未來的時間，z的期望值等於它的現值，1.0的變異率意謂著在長度為 T 的時間內 z 值變化的變異等於 T。對變數x的廣義溫納過程而言，它可以dz的方式來定義如下：

dx = a dt + b dz (4)

其中 a 與 b 為常數。

為了瞭解運算式(4)，分別考慮右側的兩個組成部分，是有用的。a dt 項暗示x每一個時間單位有一個期望的成長率。去除b dz項，運算式成為：

dx = a dt (5)

也意謂著

(6)

x = x₀+ a t (7)

其中x₀是x在時間0的值。在長度為T的時期內，x以數量T增加。在運算式(4)右側的項目b dz可視為由x所遵循的路徑所附加的噪音或變化。這個噪音或變化是b倍的溫納過程。溫納過程有1.0的標準偏差。其導出b倍溫納過程具有b的標準偏差。在小的時間間隔Δt，x值上的變化Δx，由運算式1和運算式10，寫成

(8)

同樣地討論溫納過程的前提假設，在任何時間間隔T內x值如何的變化，是一種常態分配。因此，在運算式(4)廣義溫納過程的前題假設，有了期待的a值的裂縫比率(rife rate)(即每單位時間的平均裂縫)及b²的變異比率(即每單位時間的變異數)。

它正誘導以建議股票價格遵循著一種廣義的溫納過程；也就是，其具有一個固定的期望裂縫比率以及一個固定的變異比率，不過，這個模型不能捕獲一個股票價格的關鍵方向。就是投資者從一支股票要求期望的報酬百分比，是與股票價格無關的。當股票價格是10 美元時，如果投資者要求每年期望14%的報酬，當它是50 美元時，他們也同樣要求每年期望14%的報酬，其他情形均若相同。很清楚地，那些固定期望裂縫比率假設是不適當而且需要由期望報酬是固定的假設所取代(也就是，期望的裂縫除以股票價格)。假設S是在時間t的股票價格，在S上被期望的漂移比率，針對某些固定的參數μ應該假設為μS。這個意思就是在一段短的時間間隔Δt，在S上期望增加的是μSΔt。參數μ為股票的期望收益率，用小數位表示。

如果股票價格的波動性永遠為零，這個模型暗示著：

ΔS = μSΔt (9)

在極限值Δt趨近於0

dS = μSdt (10)

或著

(11)

所以

S_T = S₀e^μT (12)

當S₀和S_T是在時間0和時間T時的股票價格。運算式(12)顯示出當變異比率為零時，股票價格在每單位時間以μ的連續複合比率增長。

實際上，當然股票價格確實顯現出波動性。一個合理的假設是，在一個短期間Δt內報酬百分比的變異量一樣跟股票價格無關。換句話說，當股票價格為50美元時跟當股價為10美元時，投資者一樣不確定報酬百分比。這表明在短時期Δt內變化的標準偏差應該與股票價格成正比並且導出下列模型

dS = μSdt + σSdz (13)

或

dSS = μdt + σdz (14)

本文主要抄錄自MIT 2003年春季投資學課程的筆記。